domingo, 12 de octubre de 2014

APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

MODELADO DE SITUACIONES

En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Ejemplo 1:
Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
  2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
  3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
Solución:
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:
f x = 50 × 3 x2
  1. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
Usando la fórmula para x = 4, la población será:
f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450
Después de 4 años habrá 450 aves.
  1. ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4
La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.


Ejemplo 2:
Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?
  2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
  3. ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?
Solución:
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?
Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:
f x = 50 × 13 x 5
  1. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
Usando la fórmula para x = 3:
f 3 = 50 × 13 3 5 = 50 × 13 0.6 ≈ 25.86
Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.
  1. ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?
Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :
f x = 50 × 13 x 5 1 = 50 × 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln ( 150 ) = x 5 ln ( 13 ) 5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x ≈ 17.8
Después de aproximadamento 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.
ENCONTRAR LA FUNCIÓN A PARTIR DE VALORES DADOS
 Ejemplo 1:
En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300 moscas.
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?
  2. ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?
  3. ¿Después de cuanto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?
Solución:
  1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?
Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:
f x = y 0 × a x b
Donde x representa el número de días transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:
x
2
4
f(x)
100
300
Los valores de la tabla indican que la población de moscas se triplicó en un periodo de 2 días , lo que nos permite escribir la fórmula así:
f x = y0 × 3 x2
Sabemos que f(2)=100. Reemplazando en la fórmula para hallar y0:
f 2 = y0 × 3 22 100 = y0 × 3 1 y0 = 1003
Finalmente la fórmula para el crecimiento de las moscas es:
f x = 1003 × 3 x2
  1. ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?
Usando la fórmula para x = 5, la población será:
f 5 = 1003 × 3 52 f 5 ≈ 520
Después de 5 días habrá aproximadamente 520 moscas.
  1. ¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?
Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
f x = 1003 × 3 x2 1000 = 1003 × 3 x2 30 = 3 x2 ln (30 ) = ln ( 3 x2 ) ln (30 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (30 )ln (3 ) = x x ≈ 6.19
La población de moscas será de 1000 individuos después de aproximadamente 6.19 días.


http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html


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APLICACIONES
Las aplicaciones más famosas de los logaritmos son las escalas logarítmicas, se denomina así a una escala de medidas cualesquiera cuyos valores se expresan en logaritmos. Con esto conseguimos mayor facilidad en las expresiones, y por eso su uso está tan extendido hoy en día. A continuación vamos a estudiar algunas de las escalas logarítmicas más famosas:
Escala Richter
Inventada en 1935 por el sismógrafo estadounidense del mismo nombre, ofrece una medida objetiva de la intensidad de un terremoto.
Cómo funciona:
Cada uno de los valores de la escala constituye un logaritmo en base 10 que mide la amplitud de las ondas sísmicas registradas por un sismógrafo. Por ejemplo un terremoto de grado 6 (log106) tendrá ondas con una amplitud 10 veces mayor que uno de grado 5 (log105).
En términos de Energía, una diferencia de un grado es igual a multiplicar por 31 la energía del grado anterior. Por ejemplo un terremoto de grado 2 tiene una energía E , uno de grado 4 tendrá una energía de E x 312
La escala de Richter se puede dividir en seis intervalos:
<3.5: Imperceptible
3.5-5.4: Perceptible, pero raramente causa daños.
5.5-6.0: Puede causar daños leves a edificios
6.1-6.9: Puede ocasionar daños graves en áreas pobladas o edificios no muy bien construidos.
7.0-7.9: Terremoto de importancia que genera graves daños.
>8.0 : Gran terremoto, destrucción total en las cercanías del epicentro.
Gracias a esta escala se puede registrar la magnitud de los terremotos, y así se puede estudiar su comportamiento y crear medidas de prevención.

Escala de pH
Mide la acidez de una concentración (se produce por los niveles de iones hidronios). Es un conjunto de fórmulas en las que el logaritmo negativo de la concentración de hidronios es igual, menor, o mayor a 7, y estos valores pueden oscilar entre el 0 y el 14, de este modo distinguimos estos intervalos:
0-7 : pH ácidos
7 : pH neutro
7-14: pH básico.
Gracias a esta escala se pueden estudiar importantes fenómenos biológicos, y sirve de ayuda para tratar bien la piel o predecir alergias (a la plata por ejemplo).

Escala del sonido
Tras unos estudios, se determinó que el ser humano podía oír las ondas que generaban una presión de entre 0.00002 y 100 pascales, un intervalo demasiado amplio que resulta casi inmanejable, por lo que en vez de esta escala se usa la de decibelios, una escala logarítmica que va sólo de 0 a 130.
Gracias a esta escala se puede determinar los umbrales de sonidos que son aceptables para nuestros oidos y aquellos que pueden resultar peligrosos y acarrear consecuencias negativas para el proceso auditivo.
Se pueden dotar de distintos valores a procesos sonoros normales, como una conversación (40db-50db), tráfico (80 db), pero se pueden crear dos intervalos:
0-90 db : No perjudicial para el oido humano
>90 db: la escucha prolongada de estos sonidos puede ocasionar sordera
Por último caben destacar otras tan importantes como la que mide las radiaciones electromagnéticas, y es que los logaritmos simplifican la tarea de representar los niveles de radiación  y longitud de onda, o las que representan el proceso de desintegración de sustancias radiactivas.



http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/logaritmos/app.html
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LOGARITMOS
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.



De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — poridentidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
Descripción: \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.
Logaritmo

Gráfica de Logaritmo
Definición
Descripción: \log_b(x) := \frac {\ln(x)}{\ln(b)} \,\!\,
Descripción: \scriptstyle \mathrm{con} \; b \ \in \ \mathbb{R}_+\setminus\{ 1\}
Tipo
Función real
Descubridor(es)
John Napier (1614)
Dominio
Descripción: (0,+\infty)\,
Codominio
Descripción: (-\infty,+\infty)\,
Imagen
Descripción: (-\infty,+\infty)\,
Propiedades
Biyectiva
Cóncava
Estrictamente creciente
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada
Descripción: \frac{1}{x\ln(b)}\,
Función inversa
Descripción: b^x\,
Límites
Descripción: \lim_{x\to 0^+ \atop b>1}\log_b(x)=-\infty\,
Descripción: \lim_{x\to+\infty \atop b>1}\log_b(x)=+\infty\,Descripción: \lim_{x\to 0^+ \atop 0<b<1}\log_b(x)=+\infty\,
Descripción: \lim_{x\to+\infty \atop 0<b<1}\log_b(x)=-\infty\,
Funciones relacionadas
Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e.
El verde corresponde a la base 10.
El púrpura al de la base 1,7.


Definición
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es lafunción inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.1
Descripción: \log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\,
(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivox > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).2
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.


http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

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