APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

MODELADO DE SITUACIONES

En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Ejemplo 1:

Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:

f x = 50 × 3 x2

2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

Usando la fórmula para x = 4, la población será:

f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450

Después de 4 años habrá 450 aves.

3. ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4

La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

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Ejemplo 2:

Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?
2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
3. ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?

Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:

f x = 50 × 13 x 5

2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Usando la fórmula para x = 3:

f 3 = 50 × 13 3 5 = 50 × 13 0.6 ≈ 25.86

Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.

3. ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :

f x = 50 × 13 x 5 1 = 50 × 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln ( 150 ) = x 5 ln ( 13 ) 5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x ≈ 17.8

Después de aproximadamento 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.

ENCONTRAR LA FUNCIÓN A PARTIR DE VALORES DADOS

 Ejemplo 1:

En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300 moscas.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?
2. ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?
3. ¿Después de cuanto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?

Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:

f x = y 0 × a x b

Donde x representa el número de días transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:

x	2	4
f(x)	100	300

Los valores de la tabla indican que la población de moscas se triplicó en un periodo de 2 días , lo que nos permite escribir la fórmula así:

f x = y0 × 3 x2

Sabemos que f(2)=100. Reemplazando en la fórmula para hallar y₀:

f 2 = y0 × 3 22 100 = y0 × 3 1 y0 = 1003

Finalmente la fórmula para el crecimiento de las moscas es:

f x = 1003 × 3 x2

2. ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?

Usando la fórmula para x = 5, la población será:

f 5 = 1003 × 3 52 f 5 ≈ 520

Después de 5 días habrá aproximadamente 520 moscas.

3. ¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 1003 × 3 x2 1000 = 1003 × 3 x2 30 = 3 x2 ln (30 ) = ln ( 3 x2 ) ln (30 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (30 )ln (3 ) = x x ≈ 6.19

La población de moscas será de 1000 individuos después de aproximadamente 6.19 días.

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html